Question

3．若一个等腰三角形的两条边的边长之比3：2，则这个等腰三角形底角的正切值为2$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于点D，则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，分①AB：BC=3：2和②AB：BC=2：3两种情况分别依据等腰三角形性质和勾股定理及正切函数的定义求解可得．

解答 解：如图，作AD⊥BC于点D，
则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，

①若AB：BC=3：2，
设AB=3x，则BC=2x，
∴BD=x，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
则tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{x}$=2$\sqrt{2}$；
②若AB：BC=2：3，
设AB=2x，则BC=3x，
∴BD=$\frac{3}{2}$x，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-（\frac{3}{2}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x，
则tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}x}{2}}{\frac{3x}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质并据此分类讨论是解题的关键．