Question

15．如图所示，AC为⊙O的直径，PA⊥AC于点A，过点P作⊙O 的切线PB交AC于点D，连接BC，且$\frac{DB}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$，则cos∠BCA的值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接OB、OP，如图，利用切线的性质得OB⊥PD，利用切线的判定得到PA为⊙O的切线，则利用切线长定理得到PA=PB，设圆的半径为r，利用$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$得到DC=2r，OD=3r，利用勾股定理得到BD=2$\sqrt{2}$r，接着由$\frac{DB}{DP}$=$\frac{2}{3}$得到PB=$\sqrt{2}$r，所以AB=$\sqrt{2}$r，再证明△DBC∽△DPO得到∠BCD=∠POD，则判定BC∥PO得到∠POA=∠ACB，然后利用余弦的定义求出cos∠AOP即可得到cos∠BCA的值．

解答 解：连接OB、OP，如图，
∵PB为切线，
∴OB⊥PD，
∵PA⊥AD，
∴PA为⊙O的切线，
∴PA=PB，
设圆的半径为r，
∵$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$，
∴DC=2r，OD=3r，
在Rt△BOD中，BD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∵$\frac{DB}{DP}$=$\frac{2}{3}$，
∴PB=$\sqrt{2}$r，
∴AB=$\sqrt{2}$r，
∵$\frac{DB}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$，
而∠BDC=∠PDO，
∴△DBC∽△DPO，
∴∠BCD=∠POD，
∴BC∥PO，
∴∠POA=∠ACB，
在Rt△OPA中，OP=$\sqrt{（\sqrt{2}r）^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$r，
cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{r}{\sqrt{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BCA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了切线的性质．