Question

10．如图，双曲线y=-$\frac{2}{x}$与y=$\frac{6}{x}$分别过矩形ABCO上的A、D两点，OD=2CD，矩形ABCO面积为18$\sqrt{3}$，则OC的长为（　　）

• A． 6
• B． $6\sqrt{3}$
• C． 9
• D． $9\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，通过矩形的性质以及同角的余角相等即可得出∠AOE=∠ODF，结合∠AEO=∠OFD=90°即可证出△AOE∽△ODF，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{DF}$，再根据反比例函数系数k的几何意义结合矩形的面积以及OD=2CD即可得出关于OD的一元二次方程，解之即可得出OD的长度，进而可得出OC的值．

解答 解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEO=∠OFD=90°．
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠AOD=90°．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠EAO+∠ODF=90°，
∴∠AOE=∠ODF，
∴△AOE∽△ODF，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{DF}$．
∵AE•OE=|-2|=2，OF•DF=|6|=6，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\sqrt{\frac{2}{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OD．
∵OD=2CD，
∴OC=$\frac{3}{2}$OD．
∵矩形ABCO面积为18$\sqrt{3}$，
∴AO•OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OD•$\frac{3}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD²=18$\sqrt{3}$，
解得：OD=6，
∴OC=$\frac{3}{2}$OD=9．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质，根据反比例函数系数k的几何意义结合矩形的面积找出关于OD的一元二次方程是解题的关键．