Question

直线y=-

3

3

x+

3

与两坐标轴交于A、B两点，以点M（1，0）为圆心，MA为半径作⊙M交坐标轴于C、D两点．作直线BE∥x轴交⊙M于E，过点B作直线PQ使∠EPM=∠MPB=60°，连接PE、PM．请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：探究型

分析：延长PB至F，使得PF=PM，连接MF、MB、ME．只需证到BF=PE，只需证到△MBF≌△MEP，只需证到△PFM和△EMB都是等边三角形即可．

解答：解：PB+PE=PM．
理由如下：
延长PB至F，使得PF=PM，连接MF、MB、ME，如图．
∵∠1=60°，PF=PM，
∴△PFM是等边三角形，
∴MF=PM，∠PMF=60°，
∴∠3+∠5=60°．
由直线AB的解析式y=-

3

3

x+

3

可得：A（3，0），B（0，

3

），
在Rt△AOB中，
∵OB=

3

，OA=3，
∴tan∠BAO=

3

3

，
∴∠BAO=30°．
∵BE∥x轴，
∴∠8=∠BAO=30°，
∴∠7=2∠8=60°．
∵MB=ME，
∴△MBE是等边三角形，∠5+∠4=60°．
∵∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4．
在△MBF和△MEP中，

MF=MP ∠3=∠4 MB=ME

．
∴△MBF≌△MEP（SAS）．
∴BF=PE．
∴PM=PF=PB+BF=PB+PE，
即PB+PE=PM．

点评：本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行线的性质等知识，有一定的难度，而用截长补短法构造全等三角形是解决本题的关键，截长补短法是证明一条线段等于两条线段的和（或差）常用的证明方法，应掌握它．