Question

11．如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 首先过点M作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，CH，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

解答 解：过点M作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，CH=AC-AH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{ON}{MH}$=$\frac{OC}{CH}$，即$\frac{ON}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$，
∴ON=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．