Question

如图，在⊙O中，AB为直径，半径OC⊥AB，弦EF经过CO的中点D，EF∥AB．
（1）求证：

EC

=2

EA

；
（2）若圆的半径为R，求EF的长．

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）首先连接OE，由半径OC⊥AB，EF∥AB，可得OC⊥EF，又由弦EF经过CO的中点D，可求得∠OED的度数，继而可求得∠COE=2∠AOE，继而证得结论；
（2）由勾股定理可求得ED的长，然后由垂径定理求得EF的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵D是CO的中点，
∴OD=

1

2

OC，
∵径OC⊥AB，EF∥AB，
∴OC⊥EF，
∴∠OED=30°，
∴∠EOC=60°，
∴∠AOE=90°-∠EOC=30°，
∴∠EOC=2∠EOA，
∴

EC

=2

EA

；

（2）解：∵OD=

1

2

OE=

1

2

R，
∴ED=

OE2-OD2

=

3

2

R，
∴EF=2ED=

3

R．

点评：此题考查了垂径定理、平行线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．