Question

某商品现在的售价为每件40元，每天可以卖出200件，该商品将从现在起进行90天的销售：在第x（1≤x≤49）天内，当天售价都较前一天增加1元，销量都较前一天减少2件；在第x（50≤x≤90）天内，每天的售价都是90元，销量仍然是较前一天减少2件，已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的当天利润为y元．
（1）填空：用含x的式子表示该商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量．

第x（天）	1≤x≤49	50≤x≤90
当天售价（元/件）
当天销量（件）

（2）求出y与x的函数关系式；
（3）问销售商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（4）该商品在销售过程中，共有多少天当天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）由当天的售价=原来的售价+增加的价格，当天的销量=原来的销量-减少的数量就可以直接得出结论；
（2）直接根据总利润=每件的利润×数量就可以得出y与x之间的函数关系式；
（3）根据（2）的解析式的分类讨论就可以得出结论；
（4）由（2）的解析式建立不等式求出其解即可．

解答：解：（1）由题意，得
当1≤x≤49时，
当天的售价为：（40+x）元，
当天的销量为：（20-2x）件．
当50≤x≤90时，
当天的售价为：90元，
当天的销量为：（20-2x）件．
故答案为：40+x，20-2x，90，20-2x；
（2）由题意，得
当1≤x≤49时，
y=（40+x-30）（200-2x）=-2x²+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（90-30）（200-2x）=-120x+12000．
∴y=

-2x2+180x+2000(1≤x≤49) -120x+12000(50≤x≤90)

（3）由题意，得
当1≤x≤49时，
y=-2x²+180x+2000，
y=-2（x-45）²+6050
∴a=-2＜0，
∴x=45时，y_最大=6050元．
当50≤x≤90时，
y=-120x+12000．
∴k=-120＜0，
∴当x=50时，y最大=6000元，
∴销售商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（4）由题意，得
当-2x²+180x+2000≥4800时，
∴（x-20）（x-70）≤0，
∴

x-20≥0 x-70≤0

或

x-20≤0 x-70≥0

，
∴20≤x≤70．
∵x≤49，
∴20≤x≤49，
当-120x+12000≥4800时
x≤60．
∵x≥50，
∴50≤x≤60，
∴当天销售利润不低于4800元共有：49-20+1+60-50+1=41天
答：当天销售利润不低于4800元共有41天．

点评：本题考查了代数式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，函数的小组的运用，一元一次不等式及不等式组的运用，解答时建立函数关系式是关键．