Question

17．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC²=CD•BC，E是BC的中点，AC⊥AB．
（1）求证：AD⊥AE；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB，∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得∠CAD=∠CBA，再结合已知条件和直角三角形的性质证明∠DAE=90°即可；
（2）利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

解答 解：
（1）证明：∵AC²=CD•BC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠CBA，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ABC中，∵E是BC的中点，
∴EA=EB=EC，
∴∠EAC=∠BCA=∠DCA，
∴AE∥CD，
∴∠DAE=180°-∠CDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥AE；
（2）证明：
∵EK⊥AB，AC⊥AB，
∴EK∥AC，
又∵∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=EB=EC．
又∵EK=EB，
∴EK=AC，
即AK=KE=EC=CA，
∴四边形AKEC是菱形．

点评 本题考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定是解题的关键，此题难度较大．