Question

4．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE交于点F，CE=BE，且∠BEC+∠BDC=180°
（1）如图1，当∠BEC=120°时，与AC相等的线段是BF；（请直接写出答案）
（2）如图2，当∠BEC≠120°时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，点D、E分别在边CA、BA的延长线上时，BD、CE交于点F，若将条件CE=BE改为“CE=kBE”，且BF=m，EF=n，∠BFE=α，其它条件不变，求AE的长（用含k，m，n，α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BEC=∠CGA，BE=CG，进而得出△BEF≌△CGA，即可得出结论；
（2）同（1）的方法直接得出结论；
（3）同（1）的方法得出∠BEC=∠CGA，再用同弧所对的圆周角相等，进而得出△BFG∽△CAE，即可得出AE=kFG，进而用锐角三角函数和等腰三角形的性质得出FG，即可．

解答 解：（1）BF=AC，
理由：如图1，过点B，C，D作圆交AB于G，连接CG，
∴∠BGC=∠BDC，
∵∠BEC+∠BDC=180°，
∴∠BEC+∠BGC=180°，
∴∠BGC+∠AGC=180°，
∴∠BEC=∠CGA，
∵∠BEC+∠BDC=180°，∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠BDC=∠BGC，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵CE=BE，
∴BE=CG，
在△BEF和△CGA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CGA}\\{BE=CG}\\{∠EBF=∠GCA（同弧所对的圆周角相等）}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CGA，
∴BF=AC，
故答案为：BF；
（2）BF=AC仍然成立，
理由：同（1）的方法直接得出，BF=AC，
（3）如图2，过点B，C，D作圆交CF于G，连接BG，过点B作BM⊥CF，
∴∠BMF=90°，
∵点C，B，D，G四点共圆，
∵∠BEC+∠BDC=180°，∠BEC+∠BEF=180°，
∴∠BDC=∠BEF，
∵∠BGC=∠BDC，
∴∠BGE=∠BEG，
∴BG=BE，
∴∠BDC=∠BGC，
∵∠BEC+∠BDC=180°，
∴∠BEC+∠BGC=180°，
∵∠BGF+∠BGC=180°，
∴∠BGF=∠BEC，
∵∠FBG=∠DCF，
∴△BFG∽△CAE，
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BG}{CE}$，
∵BG=BE，
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵CE=kBE，
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{k}$，
∴AE=kFG，
在Rt△BMF中，BF=m，∠BFE=α，
∴cosα=$\frac{FM}{BF}$，
∴FM=BF•cosα=m•cosα，
∵EF=n，
∴EF=FM+ME，
∴ME=EF-FM=n-m•cosα，
∵BG=BE，BM⊥CF，
∴EG=2ME=2（n-m•cosα），
∴FG=EF-EG=n-2（n-m•cosα），
∴AE=kFG=k[n-2（n-m•cosα）]=k（2m•cosα-n）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，等腰三角形的性质，作出辅助线是解本题的关键，用类比的方法得出后面两问是解本题的难点．