题目内容
13．阅读下面材料：小胖遇到这样一个问题：
如图所示，在四边形ABDE中，AE∥BD，∠B=45°，点C为BD中点，且AC⊥BD，过点E做EF⊥DE，交AB于点F，图1中是否存在与EF相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小胖通过探究发现，他所构造的全等三角形，其实就是将△AEF绕平面内某一点顺时针旋转90°，且点E的对应点为点D．
请回答：
（1）小胖发现的与EF相等的线段是ED；
（2）根据小胖的想法，在图1中补充相应的辅助线，进而证明小胖发现的结论．
参考小胖思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图2，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=20°，AB=CD，求∠ABD的度数．
分析 （1）由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AD，作EM⊥AE，交AD于M，由线段垂直平分线的性质得出AB=AD，证出△AEM是等腰直角三角形，得出AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，证出∠AEF=∠MED，由ASA证明△EAF≌△EMD，得出对应边相等即；
（3）利用折叠先构造出△BDC≌△BEC，再作出等边三角形，进而判断出四边形ABFC是平行四边形，再判断出△BCE≌△BFE，即可得出结论．
解答 解：（1）小胖发现的与EF相等的线段是ED；
故答案为：ED；
（2）连接AD，作EM⊥AE，交AD于M，如图所示：
则∠AEM=90°，
∵AC⊥BD，点C为BD中点，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵AE∥BD，
∴∠EAM=∠ADB=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，
∴∠EAF=90°+45°=135°=∠EMD，
又∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠MED，
在△EAF和△EMD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MED}\\{AE=ME}\\{∠EAF=∠EMD}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△EMD（ASA），
∴EF=ED．
（3）如图1，
在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°-80°-20°=80°，∴AC=BC
将△BDC沿BC折叠得到△BEC，
∴△BDC≌△BEC，
∴CD=CE，∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCE=20°，
以CE为边在CE下边作等边三角形CEF，
∴CE=CF=EF，∴CD=CF，
∵CD=AB，
∴AB=CF，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=∠EFC=60°，
∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=20°+60°=80°=∠ABC，
∴AB∥CF，
∵AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴BF=AC=BC，∠CFB=∠BAC=80°，
∴∠BFE=∠BFC-∠EFC=80°-60°=20°=∠BCE，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=EF}\\{∠BCE=∠BFE=20°}\\{BC=BF（已证）}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠CBE=∠FBE，
在△BCF中，∠BCF=∠CFB=80°，
∴∠CBF=180°-∠BCF-∠CFB=20°，
∴∠CBE=∠FBE=$\frac{1}{2}$∠CBF=10°，
∴∠DBC=∠EBC=10°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=80°-10°=70°．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．是一道很好的题目，尤其是第三问．
