Question

16．直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．
①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；
②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），
经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
③当t=2时，线段MN，BC，AE之间有什么关系？（写出过程）

Answer 1

分析 （1）由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；
（2）设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），首先求出x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，再求出x_N=t-9，进而得到d=x_M-x_N=-$\frac{3}{2}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12；
（3）先求出点P的坐标，进而得出点P是OB中点，即可得出MN是梯形ABCE的中位线即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），
∵四边形ABCD是菱形，
∵直线y=x+m经过点C，
∴m=9，
（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，
∴可设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），
∵点M在直线AB上，
直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴t=-$\frac{4}{3}$x_M+4，得x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，
同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t-9，
∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，
∴d=x_M-x_N=-$\frac{3}{4}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12（0≤t≤4）
（3）MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．
理由：当t=2时，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴点P是OB中点，
∵MN∥x轴，
∴MN是梯形ABCE的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了菱形的性质，梯形的中位线，待定系数法，解本题的关键得出d与t之间的函数关系式，是一道比较简单的中考常考题．