Question

4．如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺时针旋转30°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求BP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AP，通过解直角△ABP求得BP的长度；
（2）S_阴影=S_半圆O-（S_扇形BOP-S_△BOP）．

解答 解：（1）如图，连接AP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
又由旋转的性质得到∠ABP=30°，
∴BP=AB•cos30°=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；

（2）如图，连接OP．
∵AB=20，∠ABP=30°，
∴OB=10，∠BOP=150°，
∴S_阴影=S_半圆O-（S_扇形BOP-S_△BOP）
=$\frac{1}{2}$π×20²-（$\frac{150π×1{0}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×10×10×sin150°）
=200π-（$\frac{125π}{3}$-25）
=$\frac{475}{3}$π+25．

点评 本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，解题时，利用了锐角三角函数的概念，扇形的面积公式，三角形的面积公式，圆面积公式求解．