Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的直角三角形△ACB，易知A、B、P三点在⊙C上，点C即为所求，再根据对称性可知满足条件的所有点C坐标．
②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“．如图2所示：当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4，设交点为P₁、P₂，此时P₁、P₂在y轴的正半轴上连接CP₁、CP₂、CA，则CP₁=CP₂=CA=r=$3\sqrt{2}$Y2CD⊥y轴，CD=4，CP₁=$3\sqrt{2}$，推出DP₁=$\sqrt{CP_1^2-C{D^2}}=\sqrt{2}$=DP₂，由此即可解决问题；
（2）当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大．

解答 解：（1）①如图1中，

在x轴的上方，作以AB为斜边的直角三角形△ACB，易知A、B、P三点在⊙C上，
圆心C的坐标为（4，3），半径为3$\sqrt{2}$，
根据对称性可知点C（4，-3）也满足条件．

②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“．
如图2所示：当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4

∵⊙C的半径r=$3\sqrt{2}$＞4，
∴⊙C与y轴相交，
设交点为P₁、P₂，此时P₁、P₂在y轴的正半轴上
连接CP₁、CP₂、CA，则CP₁=CP₂=CA=r=$3\sqrt{2}$
∵CD⊥y轴，CD=4，CP₁=$3\sqrt{2}$，
∴DP₁=$\sqrt{CP_1^2-C{D^2}}=\sqrt{2}$=DP₂，
∴P₁（0，3+$\sqrt{2}$） P₂（0，3-$\sqrt{2}$）．

（2）当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大．
理由如下：如果点P在y轴的正半轴上，设此时圆心为E，则E在第一象限，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，

∵点P，点N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，
∵∠ANB是△MAN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB，即∠APB＞∠AMB，
此时，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF=$\frac{1}{2}$AB=3，OF=4，
∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，
∴四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4．
∴⊙E的半径为4，即EA=4，
∴在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{E{A^2}-A{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{3^3}}=\sqrt{7}$，
∴OP=$\sqrt{7}$即 P（0，$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、直线与圆位置关系、勾股定理、线段AB的“等角点”的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，所有中考压轴题．