Question

9．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE．
（2）若$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$=60°，AF=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，求出∠EAC=∠OCA，根据平行线的判定得出OC∥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BAC=∠EAC=30°，∠OAF=60°，求出△OAF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出OA=AF=4，AB=8，解直角三角形求出AC，再解直角三角形求出AE即可．

解答 （1）证明：连结OC，

∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：连结OF，

∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∵OF=OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴OA=AF=4，AB=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∴在Rt△ACB中，AC=4$\sqrt{3}$，
∵△AEC为直角三角形，∠EAC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．