Question

13．观察下列二次根式的化简：
S₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$
S₂=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）
S₃=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$），…．
则$\frac{{S}_{2017}}{2017}$=$\frac{2019}{2017}$．

Answer 1

分析 根据题意可归纳出S_n的表达式，从而求出S₂₀₁₇的值

解答 解：由题意可知：S₁=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$
S₂=1+1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$=3-$\frac{1}{3}$
S₃=1+1+1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{4}$=4-$\frac{1}{4}$
由此可知：S_n=（n+1）-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n（n+2）}{n+1}$
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+2}{n+1}$=$\frac{2019}{2017}$

点评 本题考查数字规律问题，解题的关键是根据题意求出S_n的表达式，本题属于中等题型．