Question

13．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 设D（-1，0），作D点关于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．

解答 解：设D（-1，0），作D点关于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD=OB，OA=BC，
∴AD+OA=OB+BC，
∵AE=AD，
∴AE+OA=OB+BC，
即OE=OB+BC，
∴OB+CB的最小值为OE，
由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$可知∠AFO=30°，F（-4，0），
∴FD=3，∠FDG=60°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{3}{2}$，
∴DE=2DG=3，
∴ES=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，DS=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴OS=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\sqrt{O{S}^{2}+E{S}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴OB+CB的最小值为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，证得OE是OB+CB的最小值是本题的关键．