Question

17．已知：如图，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于点M、N．求证：四边形BMDN是平行四边形．

Answer 1

分析 先证明△ABM≌△CDN，再证明BM=DN，BM∥DN即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，AB∥DC，
∵BM平分∠ABC，DN平分∠ADC，
∴∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDN=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABM=∠CDN，∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CDN}\\{AB=CD}\\{∠BAM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDN，
∴BM=DN，∠AMB=∠CND，
∵∠BMN=180°-∠AMB，∠DNM=180°-∠CND，
∴∠BMN=∠MND，
∴BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．