Question

9．如图所示，直角梯形ABCD中，以腰CD为直径的⊙O₁恰与另一腰AB相切，求证：以腰AB为直径的⊙O₂也与腰CD相切．

Answer 1

分析 首先证得O₂是⊙O₁的切点，然后过点O₂作O₂F⊥CD于点F，易证得△AO₂D≌△FO₂D，即可得O₂F=O₂A=$\frac{1}{2}$AB，则可判定CD与⊙O₂相切．

解答 证明：，设AB与⊙O₁的切点为E，连接OE，
∴OE⊥AB，
∵DA⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥O₁E∥BC，
∵O₁D=O₁C
∴O₁E是梯形ABCD的中位线，
∴E是AB的中点，
∴E与O₂重合，
∴O₁O₂=O₁D，
∴∠O₁O₂D=∠O₁DO₂，
∵AD∥O₁O₂，
∴∠ADO₂=∠DO₂O₁=∠O₂DO₁，
过点O₂作O₂F⊥CD于点F，
在△AO₂D和△FO₂D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DA{O}_{2}=∠{O}_{2}FD=90°}\\{∠AD{O}_{2}=∠{O}_{2}DF}\\{{O}_{2}D={O}_{2}D}\end{array}\right.$，
∴△AO₂D≌△FO₂D（AAS），
∴O₂F=O₂A=$\frac{1}{2}$AB，
即CD与⊙O₂相切．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，证得O₂是⊙O₁的切点是解题的关键．