Question

3．（1）如果欲求$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$，可以
令x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$，①
将①式两边乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$，②
由②减去①，得x=$\frac{127}{128}$．
（2）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=a₁q^n-1（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么S_n=a₁+a₂+a₃+…a_n=S_n=$\frac{{a}_{1}（{q}^{n}-1）}{q-1}$或S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（用含a₁，q，n的代数式表示）．
（3）已知数列满足（2），且a₆-a₄=24，a₃a₅=64，求S₈=a₁+a₂+a₃+…a₈．

Answer 1

分析 （1）根据题中的提示，可得x的值；
（2）由（1）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分两种情况讨论；
（3）由已知条件求出首项和公比，再代入等比数列前n项和公式的答案

解答 解：（1）将①式两边乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$，
由②减去①，得x=$\frac{127}{128}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$，$\frac{127}{128}$；
（2）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②
②-①得：S_n=$\frac{{a}_{1}（{q}^{n}-1）}{q-1}$或①-②得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
（3）（4）∵a₆-a₄=24，a₃a₅=64，
∴a₁q⁵-a₁q³=24①，a₁q²•a₁q⁴=64②，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1=1}}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1×（{2}^{8}-1）}{2-1}$=255或$\frac{-1×（1-{2}^{8}）}{1-（-2）}$=85．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，正确判定符号，得出运算规律，解决问题．