Question

17．如图，已知直线l：y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（2，2）为圆心，2个单位长度为半径的⊙M以每秒1个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为$\frac{13±2\sqrt{13}}{3}$秒．

Answer 1

分析 根据题意确定直线的相对速度，作出直线与圆相切时的图形，求出AM、AE，证明△ADM∽△AEC，△ADM∽△AFG得到成比例线段，求出时间．

解答 解：∵直线以每秒3个单位的速度向右平移，⊙M以每秒1个单位长度的速度向右平移，
∴相当于⊙M静止，直线以每秒2个单位的速度向右平移，
直线y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$与x轴的交点A的坐标为（-1，0），
由题意可知，⊙M的半径为2，
在直角三角形AMD中，AD=3，DM=2，
由勾股定理得，AM=$\sqrt{13}$，AE=$\sqrt{13}$-2，
当直线l与⊙M相切于E时，
△ADM∽△AEC，
AC：AM=AE：AD，
即AC：$\sqrt{13}$=（$\sqrt{13}$-2）：3，
解得AC=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$，
∴当t=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$s时，直线l与⊙M相切；
当直线l与⊙M相切于点F时，
△ADM∽△AFG，
AG：AM=AF：AD，
即AG：$\sqrt{13}$=（$\sqrt{13}$+2）：3，
解得：AG=$\frac{13+2\sqrt{13}}{3}$，
∴当t=$\frac{13+2\sqrt{13}}{3}$时，直线l与⊙M相切，
故答案为：$\frac{13±2\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查的是直线与圆的关系，通过分析得到直线的相对速度是解题的关键，解答时，注意运用分情况讨论的思想，正确运用相似三角形的性质也是重点．