Question

12．如图，直线y=x+2与抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+c相交于A、B两点，若∠AOB=45°，则c的值为$\frac{\sqrt{11}}{2}$．

Answer 1

分析 联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式可求出OA、OB、AB的长度，设直线y=x+2与x轴的交点为C，由直线AB的解析式为y=x+2可得出∠BCO=45°=∠BOA，结合公共角∠CBO=∠OBA可得出△BCO∽△BOA，根据相似三角形的性质可得出$\frac{AB}{OB}$=$\frac{OA}{CO}$，代入数据即可得出4c²-11=0，解之即可得出c值．

解答 解：联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2-2\sqrt{3-c}}\\{{y}_{1}=4-2\sqrt{3-c}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+2\sqrt{3-c}}\\{{y}_{2}=4+2\sqrt{3-c}}\end{array}\right.$，
∴点A（2-2$\sqrt{3-c}$，4-2$\sqrt{3-c}$），B（2+2$\sqrt{3-c}$，4+2$\sqrt{3-c}$），
∴OA=$\sqrt{44-8c-24\sqrt{3-c}}$，OB=$\sqrt{44-8c+24\sqrt{3-c}}$，AB=4$\sqrt{6-2c}$．
设直线y=x+2与x轴的交点为C（如图所示），则点C的坐标为（-2，0）．
∵直线AC的解析式为y=x+2，
∴∠BCO=45°=∠BOA．
又∵∠CBO=∠OBA，
∴△BCO∽△BOA，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{OA}{CO}$，
∴2AB=OA•OB，即8$\sqrt{6-2c}$=$\sqrt{44-8c-24\sqrt{3-c}}$•$\sqrt{44-8c+24\sqrt{3-c}}$，
整理得：4c²-11=0，
解得：c=$\frac{\sqrt{11}}{2}$或c=-$\frac{\sqrt{11}}{2}$（不合题意，舍去）．
故答案为：$\frac{\sqrt{11}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，利用相似三角形的性质找出4c²-11=0是解题的关键．