Question

5．已知函数y=$\frac{1}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线BC的函数解析式．
（2）点E是直线AB上的一个点，且△AEC是直角三角形．求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出B的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b即可；
（2）分为两种情况：当∠ACE=90°和∠AEC=90°，求出E的坐标即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=1，
所以B的坐标为（0，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-0.5，b=1，
所以直线BC的函数解析式为y=-0.5x+1；

（2）分为两种情况：①
当∠ACE=90°时，把x=2代入y=$\frac{1}{3}$x+1得：y=$\frac{5}{3}$，
此时E的坐标为（2，$\frac{5}{3}$）；
②
当∠AEC=90°时，CE⊥AB，
∵直线AB的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+1，
∴设直线CE的解析式是y=-3x+b，
把（2，0）代入得：b=6，
∴直线CE的解析式是y=-3x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=-3x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，能之前运用待定系数法求函数的解析式是解此题的关键．