Question

9．半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB²+CD²=（　　）

• A． 28
• B． 26
• C． 18
• D． 35

Answer 1

分析 作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（$\frac{AB}{2}$）²、ON²=OA²-AN²=4-（$\frac{DC}{2}$）²，所以OM²+ON²=4-（$\frac{AB}{2}$）²+4-（$\frac{DC}{2}$）²=1，由此解得AB²+CD²=28．

解答 解：连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（$\frac{DC}{2}$）²；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（$\frac{AB}{2}$）²，
∴OM²+ON²=4-（$\frac{AB}{2}$）²+4-（$\frac{DC}{2}$）²=1，
∴AB²+CD²=28．
故选A．

点评 本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB²+CD²联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．