Question

AB是⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AC=2，AD=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=

1

2

∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；
（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则

AD

AC

=

AC

2R

，从而求得R．

解答：（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，
∴OC⊥CD．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2=

1

2

∠DAB．
又∵∠COB=2∠1=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴AD⊥CD．

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，
在△ADC和△ACB中，∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

2R

∴R=

AC2

2AD

=

2 3

3

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．