Question

已知，如图（1），在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E、G分别在AB、CD上，且AE=CG，连接CE交BG的延长线于F．
（1）求证：BG=CE，BF⊥CE．
（2）过图（1）中的点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M，（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△AEC≌△CGB，得到BG=CE；进而证明∠CBG+∠BCF=∠BCG+∠ACD=90°，即可解决问题．
（2）证明DM=DG，此为解决问题的关键性结论；借助DG=DE即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠A=∠BCG=45°；
在△AEC与△CGB中，

AC=BC ∠A=∠BCG AE=CG

，
∴△AEC≌△CGB（SAS），
∴BG=CE；∠ACE=∠CBG；
∴∠CBG+∠BCF=∠BCG+∠ACD=90°，
∴BF⊥CE．
（2）CM=BE．
∵BF⊥CH，AM⊥CH，
∴AM∥BF，
∴△ADM∽△BDG，
∴DM：DG=AD：BD，而AD=BD，
∴DM=DG；而AE=CG，
∴DE=DG，
∴DM=DE，
∴CM=BE．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解题是关键．