Question

1．已知：如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请写出所有符合条件的点D的坐标（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0），（$\frac{2}{3}$，0），（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 如果△OCD为等腰三角形，那么分点D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果．

解答 解；如图1，若点D在OA上时，OC=OD，则OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
D点的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
如图2，若OD=CD时，
∵∠COD=30°，cos∠COD=$\frac{DQ}{OD}$，
∴cos30°=$\frac{DQ}{OD}$，
∴OD=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴D点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）；

如图2，当点D在BA上时，
若OD=CD，则点D在OC的垂直平分线上，设OC的垂直平分线DQ与x轴交于点P，
则∠APD=60°，OQ=CQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
过点D作DM⊥PA于M，则PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴OM=$\frac{4}{3}$，DM=tan60°•PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D点的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；

如图4，当点D在OB上时，
若OD=OC，则OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
过点D作DM⊥OA于M，则OM=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DM=1，
则D点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）；
综上所述；符合条件的点D的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．