Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，E是AB上的一点，以BE为直径的⊙O过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求证：BD²=BC•BE；
（3）若AE=6，AD=6$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）由圆周角定理得出∠BDE=90°，得出∠BDE=∠C=90°，根据弦切角定理得出∠DBE=∠CBD，从而证得△DBE∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（3）设⊙O的半径为r，根据勾股定理求得半径，进而求得OD=3，OA=9，AB═12，然后根据△AOD∽△ABC，对应边成比例即可求出BC的长，由此得解．

解答 （1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠ACB，
∴AC是⊙O的切线；

（2）证明：连接DE，
∵BE为圆O的直径，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDE=∠C=90°，∠DBE=∠CBD，
∴△DBE∽△CBD，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴BD²=BC•BE；

（3）解：设⊙O的半径为r，
在RT△AOD中，AD²+OD²=AO²，即（6$\sqrt{2}$）²+r²=（6+r）²，
解得r=3，
∴OD=3，OA=6+r=9，AB=6+2r=12，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{BC}$，
解得BC=4．

点评 本题考查了切线的判定定理（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和切割线定理的运用，以及三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用等具有一定的综合性．