Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．

Answer 1

分析 由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．

解答 解：∵AC=6，BC=8，
∴由勾股定理可知：AB=10，
当点P在CB上运动时，
由于∠ACP=90°，
∴只能有AC=CP，如图1，
∴CP=6，
∴t=$\frac{6}{2}$=3，
当点P在AB上运动时，
①AC=AP时，如图2，
∴AP=6，PB=AB-CP=10-6=4，
∴t=$\frac{8+4}{2}$=6，
②当AP=CP时，如图3，
此时点P在线段AC的垂直平分线上，
过点P作PD⊥AC于点D，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，PD是△ACB的中位线，
∴PD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴由勾股定理可知：AP=5，
∴PB=5，
∴t=$\frac{8+5}{2}$=6.5；
③AC=PC时，如图4，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴cos∠A=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴AF=3.6，
∴AP=2AF=7.2，
∴PB=10-7.2=2.8，
∴t=$\frac{8+2.8}{2}$=5.4；
综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．
故答案为：3或6或6.5或5.4．

点评 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据腰的情况进行分类讨论，本题属于中等题型．