Question

9．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（-$\sqrt{2}$，-4），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是（2$\sqrt{2}$，-2）．

Answer 1

分析 连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE=OF、OE=CF，根据角平分线的性质可得出$\frac{CP}{AP}$=$\frac{CF}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，设点A的坐标为（a，$\frac{4\sqrt{2}}{a}$）（a＞0），由$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可求出a值，由此即可得出CF、OF的长度，结合图形即可得出点C的坐标．

解答 解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OC，OC⊥AB，
∴∠AOE+∠COF=90°．
∵∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠OCF．
在△AOE和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFC=90°}\\{∠AOE=∠OCF}\\{OA=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE=OF，OE=CF．
∵BP平分∠ABC，
∴$\frac{CP}{AP}$=$\frac{CF}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（-$\sqrt{2}$，-4），
∴k=-$\sqrt{2}$×（-4）=4$\sqrt{2}$，
∴设点A的坐标为（a，$\frac{4\sqrt{2}}{a}$）（a＞0），
∴$\frac{a}{\frac{4\sqrt{2}}{a}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=2或a=-2（舍去），
∴CF=OE=a=2，OF=AE=$\frac{4\sqrt{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$．
∴点C的坐标为（2$\sqrt{2}$，-2）．
故答案为：（2$\sqrt{2}$，-2）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形，构造全等三角形，找出CF、OF的长度是解题的关键．