Question

18．已知f（x）=$\frac{1}{x（x+1）}$，则f（1）=$\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{1×2}$，f（2）=$\frac{1}{2×（2+1）}$=$\frac{1}{2×3}$…，则：
（1）f（3）=$\frac{1}{12}$；
（2）f（1）+f（2）+f（3）=$\frac{3}{4}$；
（3）化简：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）．

Answer 1

分析 （1）将x=3代入进行计算即可；
（2）f（1）=$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；f（2）=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；f（3）=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
（3）利用（2）中的规律进行计算即可．

解答 解：（1）f（3）=$\frac{1}{3×（3+1）}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{12}$
故答案为：$\frac{1}{12}$．
（2）f（1）+f（2）+f（3）=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1$-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$；
故答案为：$\frac{3}{4}$．
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）═$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查的是有理数的计算，利用拆项裂项法进行简便运算是解题的关键．