Question

3．如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点F，求证：
（1）∠BFC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）点F在∠DAE的平分线上．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算即可；
（2）作FG⊥AB于G，FH⊥BC于H，FQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可．

解答 证明：（1）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠DBC+∠ECB=180°+∠BAC，
∵BF、CF是∠CBD，∠BCE的平分线，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）作FG⊥AB于G，FH⊥BC于H，FQ⊥AC于Q，
∵BF、CF是∠CBD，∠BCE的平分线，FG⊥AB，FH⊥BC，FQ⊥AC，
∴FG=FH，FE=FH，
∴FG=FE，又FG⊥AB，FQ⊥AC，
∴F在∠DAE的平分线上．

点评 本题考查的是角平分线的性质和判定以及三角形内角和定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．