Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是AD上一点，把∠A沿BE折叠，使点A落在F处，点Q是CD上一点，将∠C沿BQ折叠，点C恰好落在直线BF上，若∠BQE=45°，则AE=2．

Answer 1

分析 由翻折的性质可知∠EBQ=45°，根据已知条件可知三角形BEQ为等腰直角三角形，然后可证明△AEB≌△DQE，从而可求得DE=AB=4，故此可求得AE的长．

解答 解：由翻折的性质可知：∠ABE=∠FBE，∠CBQ=∠PBQ．
∴∠EBQ=$\frac{1}{2}∠ABC$=$\frac{1}{2}×90°$=45°．
∴∠EBQ=∠BQE=45°．
∴BE=EQ，∠BEQ=90°．
∴∠DEQ+∠AEB=90°．
又∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEQ=∠ABE．
在△AEB和△DQE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABE=∠DEQ}\\{BE=QE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DQE．
∴DE=AB=4．
∴AE=AD-DE=6-4=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，判断出△BEQ为等腰直角三角形是解题的关键．