题目内容
3．
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A（-1，0），与y轴相交于点B（0，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设P为该抛物线对称轴上的点，且使得△PAB为等腰三角形，请求出所有点P的坐标；
（3）请问抛物线上是否存在一点M，使得△MBD的面积是△ABD面积的2倍，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）平移直线AB交抛物线的对称轴于E，交抛物线于F，过F作FG⊥x轴，G为垂足，当以D，E，F，G为顶点的四边形为平行四边形时，求平移后直线AB的解析式．（只要求直接写出答案）
分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，表示出AB2=102，PB2=1+（t-3）2，PA2=4+t2，分三种情况建立方程求解即可；
（3）先求出三角形ABD的面积，进而得出三角形MAB的面积，再求出MN的解析式，联立方程组求解即可；
（4）由于DE∥FG，要使以D，E，F，G为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=FG，分t＞0建立方程求解即可和t＜0判断不存在满足条件的平移后的直线．
解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A（-1，0），与y轴相交于点B（0，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
顶点坐标D（1，4），
（2）设点P（1，t），
∵A（-1，0），B（0，3）
∴AB2=102，PB2=1+（t-3）2，PA2=4+t2，
①当PA=PB时，即：1+（t-3）2=4+t2，
∴t=1，
∴P1（1，1）；
②当AB=AP时，即：4+t2=10，
∴t=±$\sqrt{6}$，\
∴P2（1，$\sqrt{6}$），P3（1，-$\sqrt{6}$），
③当BP=BA时，即：1+（t-3）2=10，
∴t=0，或t=6（舍）
∴P4（1，0），
∴P1（1，1），P2（1，$\sqrt{6}$），P3（1，-$\sqrt{6}$），P4（1，0）；
（3）存在，
如图，
∵D（1，4），A（-1，0），
∴直线AD解析式为y=2x+2，
∴E（0，2），
∵B（0，3），
∴BE=1，
∴S△ABD=S△ABE+S△DBE=$\frac{1}{2}$BE×|xA|+$\frac{1}{2}$BE×|xD|=$\frac{1}{2}$BE（|xA|+|xD|）=$\frac{1}{2}$×1×（1+1）=1
∵B（0，3），D（1，4），
∴BD=$\sqrt{2}$，
直线BD解析式为y=x+3，
∵S△MBD=2S△ABD=2，
∴点M到直线BD 的距离为2$\sqrt{2}$，
过M作直线MN∥BD，交对称轴于点H，过点D作DD'⊥MN，过点B作BK⊥DH，
∴△DD'H∽△BKD，
∴$\frac{DH}{BD}=\frac{DD'}{BK}$，
∴H（1，0），
直线MN的解析式为y=x-1①；
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3②，
联立①②求的x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴M1（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），M2（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{2}$）．
（4）如图1，
∵A（-1，0），B（0，3），
∴直线AB解析式为y=3x+3，
设E（1，t），
∴直线EF解析式为y=3x+t-3，
∵D（1，4），
∴DE=|4-t|
①当t＞0时，
∵以D，E，F，G为顶点的四边形为平行四边形，且DE∥FG，
∴DE=FG=4-t，
即：F的纵坐标为4-t，
∵F在直线EF上，
∴F（$\frac{7-2t}{3}$，4-t），
∵F在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴t=$\frac{25-3\sqrt{41}}{8}$或t=$\frac{25+3\sqrt{41}}{8}$，
∴平移后直线AB的解析式为y=3x+$\frac{1-3\sqrt{41}}{8}$或y=3x+$\frac{1+3\sqrt{41}}{8}$（舍）
②当t＜0时，OE＞FG
∴DE＞FG，
即：以D，E，F，G为顶点的四边形不可能为平行四边形．
综上所述，平移后直线AB的解析式为y=3x+$\frac{1-3\sqrt{41}}{8}$．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，三角形的面积，点到直线的距离，平行四边形的性质，解本题的关键是求出直线MN的解析式．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2的图象分别交x、y轴于点A，B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且把△AOB的面积分成两部分．
已知：在△ABC与△DEF中，AN⊥BC于N，DG⊥EF于G，$\frac{AB}{DG}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$，求证：△ABC∽△DEF．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦AD于点E，连OD交AC于点F．