Question

15．已知：在△ABC与△DEF中，AN⊥BC于N，DG⊥EF于G，$\frac{AB}{DG}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$，求证：△ABC∽△DEF．

Answer 1

分析 根据$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$与勾股定理证明△ABN∽△DEG，由此可得∠BAN=∠EDG；同理可证∠CAN=∠FDG，则：∠BAC=∠EDF，再由“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论．

解答 证明：∵$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$，设$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$=k
∴AB=kDE，AC=kDF，AN=kDG，
在Rt△ABN 与Rt△DEG中，
BN²=AB²-AN²，EG²=DE²-DG²
∴BN²=k²DE²-k²DG²=k²（DE²-DG²）
∴$\frac{B{N}^{2}}{E{G}^{2}}$=k²，
∴$\frac{BN}{EG}=k$
∴在△ABN与△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠DGE=90°}\\{\frac{AN}{DG}=\frac{BN}{EG}}\end{array}\right.$
∴△ABN∽△DEG
∴∠BAN=∠EDG．
同理可证∠CAN=∠FDG．
∴∠BAC=∠EDF，且$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$
∴△ABC∽△DEF

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质．