题目内容

8．如图1，直线l：y=-kx+kb（k＞0，b＞0），与x，y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）探究与猜想：
①探究：若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为y=-2x+2，若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为y=-x2-x+2；
②猜想：若b=1时，直线l：y=-kx+k的关联抛物线的抛物线解析式为y=-x2-（k-1）x+k，并验证你的猜想；
（2）如图2，若k=2，b=2，直线MN：y=mx+n与直线l的关联抛物线P抛物线相交于M、N两点，∠MBN=90°，直线MN必经过一个定点Q，请求定点Q坐标．

分析 （1）①根据题意，由y=-x2-3x+4求出A、B坐标即可求出直线AB解析式；由y=-2x+2，求出A、B、D坐标即可求出抛物线解析式．
②由①得出猜想．求出A、B、D坐标即可求出抛物线解析式．
（2）过点B作x轴的平行线PQ，作MP⊥PQ于P，作NQ⊥PQ于N，由Rt△BNQ∽Rt△MBP，得$\frac{MP}{BQ}$=$\frac{BP}{NQ}$，即$\frac{4-{y}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{4-{y}_{2}}$，整理得x1x2+16-4（y1+y2）+y1y2=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，整理得x2+（2m+2）x+2n-8=0，利用根与系数关系，转化为关于m，n的方程即可解决问题．

解答 解：（1）①∵抛物线P：y=-x2-3x+4，
∴A（1，0），D（-4，0），B（0，4），
设直线AB解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴P的关联直线为y=-4x+4，
∵l：y=-2x+2，
∴B（0，2），A（1，0），D（-2，0），
设抛物线P：y=ax2+bx+c，则有$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a+b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴关联抛物线P为：y=-x2-x+2
故答案为y=-2x+2，y=-x2-x+2．

②猜想：y=-x2-（k-1）x+k．
理由：∵l：y=-kx+k，
∴B（0，k），A（1，0），D（-k，0），
设抛物线P：y=ax2+bx+c，则有$\left\{\begin{array}{l}{c=k}\\{a+b+c=0}\\{-a{k}^{2}-bk+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-（k-1）}\\{c=k}\end{array}\right.$，
∴抛物线p：y=-x2-（k-1）x+k．
故答案为y=-x2-（k-1）x+k．

（3）直线l的解析式为y=-2x+4，
∴A（2，0）、B（0，4）、D（-4，0），
∴可得抛物线P的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2-x+4，
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
过点B作x轴的平行线PQ，作MP⊥PQ于P，作NQ⊥PQ于N，
∴Rt△BNQ∽Rt△MBP，
∴$\frac{MP}{BQ}$=$\frac{BP}{NQ}$，
即$\frac{4-{y}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{4-{y}_{2}}$，整理得x1x2+16-4（y1+y2）+y1y2=0，
∵y1+y2=m（x1+x2）+2n，y1y2=（mx1+n）（mx2+n）=m2x1x2+mn（x1+x2）+n2，
∴（m2+1）x1x2+（mn-4m）（x1+x2）+n2-8n+16=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，整理得x2+（2m+2）x+2n-8=0，
∴x1+x2=-2m-2，x1x2=2n-8，
∴n2-6n+8m-2mn+8=0，
∴（n-4）（n-2m-2）=0，
当n=4时，直线MN经过点B，无法得到∠MBN=90°，
∴n=2m+2，
∴直线MN的解析式为y=mx+2m+2，
必过定点（-2，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、根与系数关系、解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会添加辅助线构造相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案
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