Question

6．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于点D，BD交OC于点E，若AC=4，AB=5，则BE=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后利用勾股定理列式求出BC，根据垂径定理可得求出CD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据三角形的重心到三角形的顶点的距离等于到中点的距离的2倍求解即可．

解答 解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AC为弦，OD⊥AC于点D，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵CD、BD是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的重心，综合题难度较大，三角形的重心到三角形的顶点的距离等于到中点的距离的2倍只出现在部分版本教材，此题可以酌情使用．