Question

18．如图．在△ABC中．AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE；
（1）运动3秒时，AE=$\frac{1}{2}$DC（不必说明理由）；
（2）运动多少秒时，∠ADE=∠B，并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设运动的时间是t秒，则CD=12-2t，AE=9-2t，得出方程9-2t=$\frac{1}{2}$（12-2t），求出方程的解即可；
（2）求出∠B=∠C=∠ADE，推出∠BAD=∠EDC，根据AAS证△ABD≌△DCE，推出DC=AB=9即可．

解答 解：（1）设运动的时间是t秒，
则CD=12-2t，AE=9-2t，
9-2t=$\frac{1}{2}$（12-2t）
t=3，
故答案为：3．

（2）设x秒后，∠ADE=∠B，
∵∠B=∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠B=∠C=∠ADE，
∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠BAD=∠EDC，
在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAD=∠CDE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴DC=AB=9，
∴BD=3，
∴x=$\frac{3}{2}$，
即运动$\frac{3}{2}$秒时，∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AB=AC=9cm，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$，
即∠B=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADE=∠B．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，利用了三角形内角和定理，得出方程是解题关键．