Question

3．在矩形ABCD中，E为AB边上的中点，将△BDE翻折，B的对应点记为B′，已知AD=4，AB=6，F为线段DE上一动点，当∠DAF=∠BAB′时，则DF+BB′=8．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=5，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{A}^{2}}$=$\sqrt{52}$，根据折叠的性质得到BE=B′E，BD=B′D，由直角三角形的判定得到∠AB′B=90°，推出AF∥BB′，延长DE交BB′于H，得到DH垂直平分BB′，设BH=x，EH=y，列方程组得到BB′=$\frac{24}{5}$，根据射影定理得到DF=$\frac{A{D}^{2}}{DE}$=$\frac{16}{5}$，即可得到结论．

解答 解：在矩形ABCD中，E为AB边上的中点，AD=4，AB=6，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=5，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{A}^{2}}$=$\sqrt{52}$，
∵将△BDE翻折，B的对应点记为B′，
∴BE=B′E，BD=B′D，
∴B′E=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠AB′B=90°，
∵∠DAF=∠BAB′，
∴∠B′AF=∠DAB=90°，
∴AF∥BB′，
延长DE交BB′于H，
∴DH垂直平分BB′，
设BH=x，EH=y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\\{（5+y）^{2}+{x}^{2}=52}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴BB′=$\frac{24}{5}$，
∵AF∥BB′，
∴AF⊥DH，
∴DF=$\frac{A{D}^{2}}{DE}$=$\frac{16}{5}$，
∴DF+BB′=$\frac{16}{5}$+$\frac{24}{5}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．