Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N，图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{12}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 先证明MN为⊙O切线，求阴影部分的面积要把它转化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．

解答 解：证明：连接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线；
连接AM．
∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=$\frac{1}{2}$．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_梯形ANMO=$\frac{（AN+OM）•MN}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
S_扇形OAM=$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S_阴影=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{24}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$．
故选B．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算，明确切线的判定即利用图形分割法求不规则图形面积是解题的思路．