Question

1．如图，⊙O的半径R=4，点A、B、C在⊙O上，∠BAC=60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，求DE的长．

Answer 1

分析 连接BC、OB、OC，作OF⊥BC于F，由垂径定理得出BC=2BF，AE=CE，AD=BD，得出DE是△ABC的中位线，DE=$\frac{1}{2}$BC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠BAC=120°，由等腰三角形的性质得出∠OBC=30°，求出OF=$\frac{1}{2}$OB=2，由勾股定理求出BF，即可得出答案．

解答 解：连接BC、OB、OC，作OF⊥BC于F，如图所示：
则BC=2BF，
∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∴AE=CE，AD=BD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BOC=2∠BAC=120°，OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BF=$\sqrt{O{B}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，证明的是△ABC的中位线是解决问题的关键．