Question

12．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点．
（1）求证：DF=GF；
（2）若CF=1，FD=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）如图连接EF．只要证明△EFD≌△EFG，即可解决问题．
（2）在Rt△BFC中，求出BF，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接EF．

∵AE=ED，AE=EG，
∴ED=EG，
在Rt△EFD和Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{ED=EG}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△EFG，
∴FD=FG．

（2）∵DF=2，CF=1，
∴CD=AB=3，
∵AB=BG，FG=DF，
∴BF=BG+GF=AB+DF=3+2=5，
在Rt△BFC中，∵∠C=90°，BF=5，CF=1，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．