Question

13．三条边相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°．
（1）如图①，D，E为等边三角形ABC的边AB、AC的中点，连接BE、CD，它们相交于点F，用量角器量得∠BFC=120°．
（2）如图②，在边AB上任取一点D，边AC上取一点E，使AD=CE，连接BE、CD，它们相交于点F，用量角器量得∠BFC=120°．试说明理由；
（3）若D、E两点在两边的延长线上，则两线的交角又是多少？请证明你的猜想；
（4）你发现了什么规律？请把你的结论与大家共享．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）证明△ACD≌△CBE得到∠ACD=∠CBE，而∠ACD+∠FCB=60°，则∠CBE+∠FCB=60°，根据三角形的内角和定理即可得到∠BFC的度数；
（3）由△ABC是等边三角形，得到∠BAC=∠BCA=60°，AC=BC，由全等三角形的性质得到∠ACD=∠CBE，∠D=∠E，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（4）根据以上结论得到结果．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，D，E为等边三角形ABC的边AB、AC的中点，
∴∠CDB=90°，∠DBE=$\frac{1}{2}∠$ABC=30°，
∴∠BFC=∠CDB+∠DBF=120°，
故答案为：120°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCE=60°，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE，
而∠ACD+∠FCB=60°
∴∠CBE+∠FCB=60°，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠FCB）=180°-60°=120°，
故答案为：120°；
（3）∠BFC=60°，理由如下：
如图③，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，AC=BC，
∴∠DAC=∠ECB=120°，
在△ACD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}&{\;}\\{∠DAC=∠ECB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE，∠D=∠E，
∵∠ACD=∠FCE，
∴∠BFC=∠E+∠FCE=∠D+∠ACD=∠BAC=60°；
（4）在等边三角形的边AB或BA的延长线上以及AC或AC的延长线上，分别取D，E使，AD=CE，连接BE，CD，相交于F，那么∠BFC等于120°或60°

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等三角形得出对应角相等是解决问题的关键．