Question

12．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F．
（1）设BP=x，将S_△PEF用x表示；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．

Answer 1

分析 （1）首先，求解三角形ABC的面积，然后结合三角形相似，面积比等于相似比的平方，得到△CEP和△BPF的面积，再根据四边形AEPF为平行四边形，从而得到S_△PEF的表达式；
（2）根据（1），结合二次函数的性质，求解最大值即可．

解答 解：（1）∵BC=2，BC边上的高AD=1，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴$\frac{{S}_{△CEP}}{{S}_{△CAB}}$=（$\frac{2-x}{2}$）²，
∴S_△CEP=1-x+$\frac{{x}^{2}}{4}$，
同理，得到S_△BPF=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_?AEPF=$\frac{1}{2}$（S_△ABC-S_△CEP-S_△BPF）
=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x（0＜x＜2）．
S_△PEF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x（0＜x＜2）．

（2）由（1）知S_△PEF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$，
∵0＜x＜2，
∴当x=1时，面积有最大值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及建立函数解析式的能力，找准变量之间的关系是解题的关键，属于难题．