Question

14．如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，求正方形EFGH的边长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①连接EG，根据正方形的性质得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②如备用图，根据平行四边形的性质得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根据勾股定理即可得到结论；

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠BEH=∠AEF=90°}\\{EF=EH}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH=AF；

（2）①BH=AF，
理由：连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，
即∠BEH=∠AEF，
在△BEH与△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠BEH=∠AEF}\\{EF=EH}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△AEF，
∴BH=AF；
②如备用图，∵四边形ABDH是平行四边形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
∵四方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=CE=DE=1，
∴EH=$\sqrt{A{E}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴正方形EFGH的边长为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键．