Question

2．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x₁，y₁）B （x₂，y₂），规定运算：
（1）A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂）；
（2）A⊙B=x₁x₂+y₁y₂；
（3）当x₁=x₂且y₁=y₂时，A=B．
有下列四个命题：
①若有A（1，2），B（2，-1），则A⊕B=（3，1），A⊙B=0；
②若有A⊕B=B⊕C，则A=C；
③若有A⊙B=B⊙C，则A=C；
④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立．
其中正确的命题为①②④（只填序号）

Answer 1

分析 ①根据新定义的运算法则，可计算出A⊕B=（3，1），A?B=0；
②设C（x₃，y₃），根据新定义得A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），则x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，于是得到x₁=x₃，y₁=y₃，然后根据新定义即可得到A=C；
③由于A⊙B=x₁x₂+y₁y₂，B⊙C=x₂x₃+y₂y₃，则x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，所以A≠C；
④根据新定义的运算法则，可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃）．

解答 解：①∵A（1，2），B（2，-1），
∴A⊕B=（1+2，2-1），A⊙B=1×2+2×（-1），
即A⊕B=（3，1），A⊙B=0，故①正确；
②设C（x₃，y₃），则A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），
而A⊕B=B⊕C，
所以x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，则x₁=x₃，y₁=y₃，
所以A=C，故②正确；
③A⊙B=x₁x₂+y₁y₂，B⊙C=x₂x₃+y₂y₃，
而A⊙B=B⊙C，则x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，
不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，
所以A≠C，故③不正确；
④因为（A⊕B）⊕C=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故④正确．
综上所述，正确的命题为①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了命题与定理，解题时注意：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．