Question

5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，AE的垂直平分线交边BC于点G，交边AE于点F，连接DF，EG，以下结论：①DF=$\sqrt{5}$，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG=$\frac{1}{2}$，正确的有：①④（填写序号）

Answer 1

分析 如图，设FG交AD于M，连接BE．①正确，利用勾股定理求出AE即可．②错误，只要证明DF∥BE即可证明．④正确．通过计算即可证明．且发现EF≠EC，FG≠CG，即可说明③错误．

解答 解：如图，设FG交AD于M，连接BE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=EC=2，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵AF=EF，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$，故①正确，
易证△AED≌△BEC，
∴∠AED=∠BEC，
∵DF=EF，
∴∠FDE=∠FED=∠BEC，
∴DF∥BE，
∵BE与EG相交，
∴DF与EG不平行，故②错误，
∵AE⊥MG，易证AE=MG=2$\sqrt{5}$，
由△AFM∽△ADE，可知$\frac{FM}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴FM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，FG=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
在Rt△EFG中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{G}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴BG=BC-CG=4-$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$，故④正确，
∵EF≠EC，FG≠CG，∴△EGF与△EGC不全等，故③错误，
故答案为①④．

点评 本题考查正方形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．