Question

3．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；
（2）根据正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 （1）证明：如图，连接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵CE=CD，
∴AE=2$\sqrt{2}$-2，
过点E作EH⊥AB于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）=2-$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$EH=2$\sqrt{2}$-2，
∴AF=$\sqrt{2}$AE=4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．