Question

8．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，OA，OB分别交⊙O于点E，F．
（1）求证：AE=BF；
（2）若D是优弧EF上一点，连接DE，DC，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{5}{8}$，求tan∠CDE的值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的判定得到OA=OB，然后两边都减去半径即可得到结论；
（2）作直径CG，连接EG，连接EF交CG于H，如图，先证明∠CEH=∠CDE，设OB=5x，AB=8x，则AC=BC=4x，再利用勾股定理计算出OC，接着利用相似比计算出EH、OH，从而得到CH的长，然后利用正切的定义求解．

解答 （1）证明：∵∠A=∠B，
∴OA=OB，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=CF；
（2）解：作直径CG，连接EG，连接EF交CG于H，如图，
∵CG为直径，
∴∠CEG=90°，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∴∠ECG=90°，
∴∠ACE=∠G，
而∠G=∠CDE，
∴∠ACE=∠CDE，
∵OE：AE=OF：BF，
∴EF∥AB，
∴∠ACE=∠CEH，EF⊥OC，
∴∠CEH=∠CDE，
由$\frac{OB}{AB}$=$\frac{5}{8}$，设OB=5x，AB=8x，则AC=BC=4x，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{（5x）^{2}-（4x）^{2}}$=3x，
∵EH∥AC，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{EH}{4x}$=$\frac{OH}{3x}$=$\frac{3x}{5x}$，解EH=$\frac{12}{5}$x，OH=$\frac{9}{5}$x，
∴CH=OC-OH=3x-$\frac{9}{5}$x=$\frac{6}{5}$x，
在Rt△CEH中，tan∠CEH=$\frac{CH}{EH}$=$\frac{\frac{6}{5}x}{\frac{12}{5}x}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CDE的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是证明∠CEH=∠CDE．