Question

18．（Ⅰ）如图1，在平面直角坐标系xoy中，将矩形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB边放在y轴的正半轴上，AB=m，AD=n，（m≤n）．将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，过点E作EQ⊥BC于点Q，折痕MN所在直线与直线EQ相交于点P，连结OP． 求证：四边形OMEP是菱形；
（Ⅱ）设点P坐标是（x，y），点P的轨迹称为折叠曲线，求y与x的函数关系式（用含m的代数式表示）；
（Ⅲ）将矩形纸片ABCD如图2放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在点K，使得△KCF的面积是△KOC面积的$\frac{5}{3}$？若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折叠有，OM=ME，∠OMN=∠EMN，再判定出四边形OMEP是平行四边形，即可；
（Ⅱ）由菱形的性质得到，OP=PE，从而x²+y²=m²-2my+y²即可；
（Ⅲ）假设折叠曲线上存在点K满足条件，设出K的坐标，表示出S_△KCF=$\frac{1}{2}$CF×KG=$\frac{1}{2}$×5×（12-x），S_△KOC=$\frac{1}{2}$CO×KH=$\frac{1}{2}$×12×y，用S_△KCF=$\frac{5}{3}$S_△KOC建立方程，解得方程即可．

解答 （Ⅰ）证明：由折叠有，OM=ME，∠OMN=∠EMN，
∵OM∥EP，
∴∠OMN=∠MPE．
∴∠EMN=∠MPE．
∴ME=EP．
∴OM=EP．
∴四边形OMEP是平行四边形．
又∵ME=EP，
∴四边形OMEP是菱形．
（Ⅱ）∵四边形OMEP是菱形，
∴OP=PE∴OP²=PE²，
∵EQ=OA=m，PQ=y，
∴PE=m-y．
∴PE²=（m-y）²=m²-2my+y²．
∵OP²=x²+y²，PE²=m²-2my+y²，
∴x²+y²=m²-2my+y²．
∴y=-$\frac{1}{2m}$x²+$\frac{m}{2}$（0≤x≤m）
（Ⅲ）

如图1，假设折叠曲线上存在点K满足条件．
当m=8时，y=-$\frac{1}{16}$x²+4，
作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．设K（x，y），
则KG=12-x，KH=y．
当x=12时，y=-5．
∴F（12，-5）
∴CF=5．
∴S_△KCF=$\frac{1}{2}$CF×KG=$\frac{1}{2}$×5×（12-x），
S_△KOC=$\frac{1}{2}$CO×KH=$\frac{1}{2}$×12×y，
∵S_△KCF=$\frac{5}{3}$S_△KOC，
∴$\frac{1}{2}$×5×（12-x）=$\frac{5}{3}$×$\frac{1}{2}$×12×y，
∴y=$\frac{12-x}{4}$．
∴K（x，$\frac{12-x}{4}$），
∵点K在y=-$\frac{1}{16}$x²+4，上，
∴$\frac{12-x}{4}$=-$\frac{1}{16}$x²+4．
∴x²-4x-16=0，
∴x₁=2+2$\sqrt{5}$，x₂=2-2$\sqrt{5}$（舍），
当x₁=2+2$\sqrt{5}$，时，y=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
∴存在点K（$2+2\sqrt{5}$，$\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$）．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查平行四边形的性质，和平面坐标系中两点间的距离公式，用线段相等和面积关系建立方程是解本题的关键．