题目内容

13．如图，a∥b，试探究∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的数量关系．

分析 分别过∠2、∠3、∠4的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，内错角相等列式整理即可得解．

解答 解：如图，分别过∠2、∠3、∠4的顶点作a的平行线c、d、e，
∵a∥b，
∴a∥b∥c∥d∥e，
∴∠α=∠2-∠1，
∠β=∠α，
∠θ=∠4-∠5，
∠γ=∠θ，
∵∠3=∠β+∠γ，
∴∠3=∠2-∠1+∠4-∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．

点评 本题考查了平行线的性质，此类题目，难点在于过拐点作平行线，准确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

练习册系列答案
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3．计算：
（1）5$\sqrt{{a}^{2}}$-$\sqrt{4{a}^{2}}$（a≥0）；
（2）$\sqrt{8}$-$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+2）；
（3）（4$\sqrt{6}$-$\sqrt{8}$）÷$\sqrt{2}$．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，⊙A与边AC、AB交于点D，E，⊙A的半径是1，若点F为BC的中点，BF=$\sqrt{3}$，求证：直线BC与⊙A相切．
1．看图填理由：
∵直线AB，CD相交于O（已知），
∴∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵∠3+∠4=180°（已知），
∠1+∠4=180°（邻补角的定义），
∴∠1=∠3（同角的补角相等）；
∴CD∥BE（同位角相等，两直线平行）．
8．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，OA，OB分别交⊙O于点E，F．
（1）求证：AE=BF；
（2）若D是优弧EF上一点，连接DE，DC，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{5}{8}$，求tan∠CDE的值．
18．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点H．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠HBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：EC=EH；
（3）如图3，在（2）条件下，若CH=DH，AH=$2\sqrt{17}$，tan∠D=$\frac{4}{3}$，求线段BF的长．
5．如果a2m÷a2n=a，则m与n的关系是（　　）
A．m=nB．m+n=0C．2m-2n=1D．m+n=1
2．[问题情境]
（1）如图1，在宽为20cm，长为40cm的矩形纸片ABCD上，阴影部分分别为矩形A1B1C1D1和平行四边形A2B2C2D2，其顶点都在矩形ABCD的边上，设A1B1=A2B2=xcm，矩形纸片ABCD剪去阴影部分余下的面积为ycm2．
①求y与x的函数关系式；
②求当x=2时，求y的值．
[操作验证]
（2）如图2，在宽为20cm，长为40cm的矩形纸片ABCD上，阴影部分分别为平行四边形A1B1C1D1和平行四边形A2B2C2D2，其顶点都在矩形ABCD的边上，且A1B1=A2B2=2cm，A1D1⊥A2D2，则矩形纸片ABCD剪去阴影部分余下的面积与图1相比发生变化吗？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出变大还是变小．
3．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：在矩形OBCD中，点C是O、B两点的一个勾股点（如图1所示）．
问题（1）：如图1，在矩形OBCD中，OD=4，DC边上取一点E，DE=8．若点E是O、B两点的勾股点（点E不与点C重合），求OB的长；
问题（2）：如图2，在矩形OBCD中，OD=4，OB=12，在OB边上取一点F，使OF=5，DC边上取一点E，使DE=8．点P为DC边上一动点，过点P作直线PQ∥OD交OB边于点Q．设DP=t（t＞0）．
①当点P在线段DE之间时，以EF为直径的圆与直线PQ相切，求t的值；
②若直PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点时，请直接写出求t的取值范围．

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